Projekt/ Beispiele Linearität Proportionalität

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Hier werden Beispiele für praktische Anwendungen von linearen Funktionen, direkter und indirekter Proportionalität gesammelt. Diese Themen werden in Bayerns Gymnasien in der 8. Klasse behandelt. Zu beachten ist, dass die Beispiele nur immer mehr oder weniger gute Näherungen der mathematischen Zusammenhänge darstellen.


Direkte Proportionalität: y = m * x

Weil die direkte Proportionalität immer auch einen linearen Zusammenhang darstellt, sind weitere Beispiele auch in der dazugehörigen Tabelle zu finden.

Beispiel y x m Bemerkung
Breitengrade und Zeit Zeitabweichung Breitengrad 4 Minuten /Grad Die Erde dreht sich in 24h einmal um ihre Achse, macht also eine 360-Grad-Drehung innerhalb von 24*60 Minuten. 24*60/360 = 4; daher ist die Zeitabweichung 4 Minuten pro Grad. Das bezieht sich natürlich auf den Sonnenstand. Damit man nicht an jedem Ort die Uhr anders stellen muss, werden Gebiete mit ungefähr gleicher Sonnenzeit zu Zeitzonen zusammengefasst.
(Ferraris-)Stromzähler Umdrehungen Kilowatt-Stunden U/kWh Bei den immer noch weit verbreiteten Ferraris-Zählern ist die Energiemenge der Zahl der Umdrehungen des Zählrads proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist oft als U/kWh angegeben.


Indirekte Proportionalität: x * y = k

Beispiel y x k Bemerkung
Geschwindigkeit und Zeit Zeit Geschwindigkeit Weg
(Ferraris-)Stromzähler Zeit Leistung Anzahl der Umdrehungen, multipliziert mit einem festen Faktor. Wenn man misst, wie lange das Zählrad für eine Umdrehung braucht, kann man die aktuelle Leistung bestimmen. Der dazu nötige Faktor ist 3600/(U/kWh), wenn man die Zeit in Sekunden und die Leistung in Kilowatt angibt, und man den Wert für U/kWh des Stromzählers kennt.


Linearer Zusammenhang: y = m*x + t

Beispiel y x m t Bemerkung
Mit konstanter Geschwindigkeit zurückgelegte Wegstrecken Weg Zeit Geschwindigkeit Startpunkt Direkte Proportionalität wenn man bei Weg und Zeit mit Null zu zählen beginnt.
Fußweg Weg Schrittzahl Schrittlänge - Direkte Proportionalität für diskrete Werte, weil man schlecht halben Schritte machen kann.
Messrad Weg Umdrehungszahl Radumfang - Direkte Proportionalität für diskrete Werte, wenn man nur ganze Umdrehungen zählt.
Strom- und Gaskosten in Abhängigkeit vom Verbrauch Kosten Verbrauch Kosten pro Verbrauchseinheit Grundgebühr Direkte Proportionalität wenn man die Grundgebühr nicht berücksichtigt.
Handykosten Kosten Gesprächsminuten Minutenpreis Grundgebühr Es hängt von der Ausgestaltung des Tarifs ab, wie gut das auf eine lineare Funktion passt. Diskrete Werte, weil nur ganze Sekunden oder Minuten abgerechnet werden.
Temperatur eines Kochtopfs Temperatur Zeit Temperaturzunahme pro Zeit Anfangstemperatur
Temperatur eines Kochtopfs Temperatur Energie Wärmekapazität des Topfs Anfangstemperatur Linearer Zusammenhang nur, wenn man die mit steigender Temperatur ebenfalls ansteigenden Wärmeverluste vernachlässigen kann.
Zinsen Geldwert Geldwert, Zeit Zinssatz - Linearer Zusammenhang nur, wenn man nicht mit Zinseszinsen rechnet. Mehrere Möglichkeiten von linearem Zusammenhang: Kapital, Zeit, Zinssatz.
Spritverbrauch Volumen Strecke Verbrauchszahl (üblicherweise Liter pro 100 km) - Linearer Zusammenhang nur bei gleichmäßiger Fahrweise. Wieviel Sprit ein Auto verbraucht, hängt von vielen Faktoren ab: Geschwindigkeit, Verkehrverhältnisse, Fahrstil etc.
Blitz und Donner Strecke (Entfernung des Blitzes) Zeit Schallgeschwindigkeit - Aus der Zeit, die es dauert, bis man den Donner zu einem Blitz hört, kann man ausrechnen, wie weit der Blitz weg war.
Breite oder Höhe eines Bilds Strecke Zahl der Pixel Ausdehnung eines Pixels - Die Ausdehnung eines Pixel muss man meist erst ausrechnen, weil meist angegeben wird, wie viele Pixel auf einen Inch oder einen Zentimeter passen.
Mietkosten Geldwert Zeit Miete pro Zeiteinheit - Diskrete Werte, weil Mieten meist für vollen Zeiteinheiten(z.B. Monate) berechnet werden.
Preis von Lebensmitteln Geldwert Menge Preis pro Mengeneinheit - Diskrete Werte, weil sowohl der Geldwert als auch die Mengen diskret sind. (kleinste Geldeinheit, Auflösung von Waagen, Verpackungsgrößen)