Fuzzy Logic

Vorteile der Fuzzy Logic insbesondere mit Bezug auf Regelungs/Steuerungssysteme

• Man kann umgangssprachliche Beschreibungen der Experten des Fachgebietes unmittelbar nutzen

• Ein Regelungssystem basierend auf Fuzzy Logic kann leicht so gestaltet werden, dass es in allen Zuständen robust reagiert, da es nicht unbedingt exakte, störungsfreie Eingaben benötigt. Auch kann es so programmiert werden, dass das System bei Ausfall eines Sensors in einen sichern Zustand gelangt.

• Ebenso können leicht Anpassungen vorgenommen werden, sowie neue Sensoren hinzugefügt werden

• Fuzzy Logic eignet sich besonders zur Darstellung von Unschärfen und Unsicherheiten menschlicher Ausdrucksweisen, wie sie sich häufig in deskriptiven Modellen finden lassen (deskriptive Modelle sind sprachliche Beschreibungen eines Modelles, im Gegensatz zu einem mathematischen Modell)

Grundbegriffe aus der Fuzzy Logic ^[9]

• Varable Ausdrücke,auch linguistische Variable genannt, sind (Distanz, Geschwindigkeit, Körpergröße.. )

  • Werte, auch Terme genannt, für variable Ausdrücke sind: (klein, nahe,.. )

• Fuzzy Logic ordnet linguistischen Variablen nicht nur zwei sich gegenseitig ausschließende Terme zu, vielmehr sind beliebig viele Terme mit Überschneidungen zugelassen: Ja/Nein schließen sich gegenseitig aus. nahe/entfernt schließen sich nicht unbedingt gegenseitig aus.

• Fuzzy Logic beinhaltet Konzepte, wie linguistische Variable mit Ihren Termen durch UND- und ODER-operatoren miteinander zu verknüpfen sind

• Im Gegensatz zur klasssischen zweiwertigen Logik gibt es verschiedene Möglichkeiten eine UND/ODER Verknüpfung von linguistischen Termen vorzunehmen

• Fuzzy Logic ist eine Erweiterung der klassischen zweiwertigen Logik um Unschärfen

• Die beiden wichtigsten Bestandteile des Grundmodells der Fuzzy Logic sind die Begriffe der Fuzzy Menge (fuzzy set) und des Zugehörigkeitsgrades (degree of membership), es gibt diskrete Zugehörigkeitsräume und kontinuierliche Zugehörigkeitsräume.

• Zugehörigkeitsfunktion: Reellwertige, beschränkte Funktion, die jedem Element einer Fuzzy Menge eine reelle Zahl zuordnert. Die Zahl repräsentiert die Zugehörigkeit des Elementes zur betrachteten Fuzzy Menge

• Mengendefinition mathematisch: Eine Menge besteht aus paarweise unterschiedlichen Elementen; eine Element gehört entweder zur Menge oder nicht. Aus Sicht der Fuzzy Logic spricht man auch von crisp sets. Sie sind ein Spezialfall einer Fuzzy Menge.
• Fuzzy Mengen erweitern diese Definition: Ein Element (einer Grundmenge) kann zu einem gewissen Grad einer Fuzzy Menge angehören.

Fuzzy Menge A : = {(x,yA(x))|x e X}// Dabei ist X die Grundmenge

Übliche Darstellungsform: Karthesisches Koordinatensystem mit x-Achse (Elemente der Grundmenge) y-Achse (Zugehörigkeitsgrade)

Normalisierte Fuzzy Menge: Wenn die Zugehörigkeitsgrade einer Fuzzy Menge alle kleiner oder gleich 1 sind. Jede Fuzzy Menge kann ohne Informationsverlust normalisiert werden. (Durch das Suprenum geteilt!)

 

FuzzyZahlen sind spezielle Fuzzy Mengen die folgenden Bedingungen genügen:

• Sie sind normalisiert (d.h. die Zugehörigkeitsgrade wurden durch das Suprenum geteilt, i.e es ist gleich 1)
• Sie sind konvex
• Sie sind stückweise stetig
• Die Grundmenge ist ein Intervall aus den reellen Zahlen
• Es gibt genau ein x e X mit yA(x) = 1, man nennt dieses x auch den Mittelwert von X

Besondere Zugehörigkeitsfunktionen:

• konvexe Zugehörigkeitsfunktion (Eine Fuzzy Menge mit Elementen x der Objektmenge X ist konvex, wenn für alle x1,x2 von X es ein k zwischen [0,1] gibt so dass gilt yA(x1*k + (1-k)x2) > min(yA(x1),yA(x2))
• stetige Zugehörigkeitsfunktion

(Die Art der Zugehörigkeitsfunktion ist z.B. entscheidend bei der Defuzzifizierung (siehe weiter unten)

Modellbildung mit Hilfe der Fuzzy Logic ^[9]

Die Terme einer linguistischen Variablen in einem deskriptiven Modelle entsprechen Fuzzy Mengen

Bei der FuzzyModellbildung werden die Terme linguistischer Variablen als Fuzzy Mengen abgebildet

Um Terme linguistischer Variablen konjunktiv miteinander verknüpfen zu können, muss man definieren, wie man Fuzzy Mengen miteinander verknüpft. Das heißt: Definition von Durchschnitt und Vereinigung von Fuzzy Mengen.

Durchschnitt von Fuzzy Mengen:

- Elemente der Grundmengen, die in allen an den Durchschnittsbildung beteiligten Fuzzy Mengen enthalten sind.

- Bei den Zugehörigkeitsgraden wird das Minimum gewählt (bezogen auf dieses Element)

 

 

Vereinigung von Fuzzy Mengen

Komplement von Fuzzy Mengen

What is fuzzy with Fuzzy Logic?

Fuzzyfizerung: Ein Fachexperte muss die Fuzzy Mengen definieren und die FuzzyRegeln aufstellen.

Fuzzy Logic bearbeitet als Werte zwischen 0 und 1 formulierte Unschärfen in einer systematischen Weise mit mathematischen Standardfunktionen.

Die mathematischen Modelle der Fuzzy Logic sind keineswegs fuzzy, sondern

Fuzzy Logic eröffnet die Möglichkeit umgangssprachlich vorliegende Lösungsstrategien in einem mathematisch exakten Kalkül darzustellen. In der Praxis haben sich zur Bescheibung "Wenn-Dann"-Regeln durchgesetzt. Die entstehenden Modelle werden oft erstaunlich kompakt und leicht verständlich.

Die Fuzzy Logic bietet Techniken zur Implementierung deskriptiver Modelle.

Warum verbessern konvexe Zugehörigkeitsfunktionen die Modellierungsgüte?

Sonderkapitel: Mathematische Hintergründe ^[9]

Einsteinsches Produkt / Summe, Hamacher Produkt / Summe: Kalküle zur Berechnung der Zugehörigkeitsgrade der Ergebnismenge bei einer FuzzyUND/FuzzyODER Verknüpfung

Sonderkapitel: t-Normen (triangulare Normen)

Assiziative, kommutative und monotone Funktionen auf [0,1] x [0,1] mit bestimmten Eigenschaften die z. B. für die Berechnung der Zugehörigkeitsgrade eines Fuzzy-Durchschnittes angewendet werden.

Der MIN-operator erfüllt die Bedingungen der t-norm

Sonderkapitel: t-Conormen oder auch s-Normen genannt sind:

Assiziative, kommutative und monotone Funktionen auf [0,1] x [0,1] mit bestimmten Eigenschaften die z. B. für die Berechnung der Zugehörigkeitsgrade einer Fuzzy-Vereinigung angewendet werden.

 

Establishment of a complete system of Fuzzy Logic: We define the following operations:

• EMPTY : = A is EMPTY iff for all x, mA(x) = 0.0
• EQUAL : = A EQUAL B iff for all x mA(x) = mB(x)
• INTERSECTION : = C = A INTERSECTION B where: mC(x) = MIN(mA(x),mB(x))
• NOT : = mA´ = 1 - mA
• UNION : = C = A INTERSECTION B where: mC(x) = MAX(mA(x),mB(x))
• CONTAINMENT : = A CONTAINED IN B iff mA <= mB for all x

Fuzzifizierung

Zuordnung zu vordefinierten Fuzzy Mengen

bei der Fuzzyfizierung werden Eingangsgrößen Zugehörigkeitsgrade aus den Fuzzy Mengen zugeordnet

Fuzzy Inferenz

Wichtige Begriffe in diesem Zusammenhang:

• Regelgewicht, Alpha: Es gibt an, wie stark die Prämisse der FuzzyRegel zu werten ist.
• Das Ergebnis einer angewandten Regel ist zunächst ein Zugehörigkeitsgrad (Man spricht auch von einem Regelgewicht)

Es müssen zwei Dinge betrachtet werden.

• wie werden die Konklusionen mehrerer Regeln zusammengefasst
• wie überträgt sich das Regelgewicht auf die Konklusionen

Für diese Fragestellungen gibt es in der Literatur mehrere Ansätze, wichtige davon sind

MAXMIN - Inferenz Aus den Regelgewichten wird das Maximum gebildet und für die Minimumbildung mit der Zugehörigkeitsfunktion der Ausgangsvariable verwendet

MAXPROD - Inferenz Aus den Regelgewichten wird das Maximum gebildet und für die Produktbildung mit der Zugehörigkeitsfunktion der Ausgangsvariable verwendet

Technische Vorgehensweise:

1. Regeln mit Aufzählungen von mehreren Ausgangsvariablen werden in n Regeln aufgeteilt
2. Gruppierung der Regeln die die gleiche Ausgangsvariable haben
3. Innerhalb dieser Gruppen sortieren nach Regeln, die die gleichen Terme haben

 

 

Man bildet in beiden Fällen, das Maximum der Regelgewichte, deren Konklusion den gleichen Term besitzt.

Weitere Vorgehensweise MAXMIN:

Man bestimmt dann das Minimum aus den Zugehörigkeitsgraden der Fuzzy Menge in der Regelkonklusion und dem zuvor ermittelten Maximum der Zugehörigkeitsgrade aus den Prämissen.

Das Ergebnis je Regelgruppe ist eine neue Fuzzy Menge. Sie beinhaltet die Elemente der Fuzzy Menge, die in den Konklusionen verwendet wurde, mit den nach obiger Vorschrift neu ermittelten Zugehörigkeitsgraden.

Dann muss das Gesamtergebnis aus allen Regeln gebildet werden: Gesamtergebnis ist Aggregation der Gruppenergebnisse

Weitere Vorgehensweise MAXPROD:

Hier wird die Fuzzy Menge der Konklusion mit dem Regelgewicht (Gruppengewicht) multipliziert.

Das Ergebnis (je Regelgruppe) ist eine neue Fuzzy Menge

Fläche unter dem Zugehörigkeitsgraphen der Fuzzy Menge

Das Ergebnis einer FuzzyInferenz ist eine Fuzzy Menge oder anschaulich eine Fläche unter dem Zugehörigkeitsgraphen der Fuzzy Menge

Defuzzyfizierung

Aus einer Fuzzy Menge muss ein exakter Wert konstruiert werden. Das Ergebnis der Defuzzyfizierung ist eine Reelle Zahl oder eine "crisp number"

Zwei bekannte Spielarten der Defuzzyfizierung sind:

Maximum-Methode (versagt völlig, wenn z.B.die Zugehörigkeitsfunktion monoton steigend gegen einen Grenzwert ist)

Center of Gravity Methode (Schwerpunkt der Fläche unter der Zugehörigkeitsfunktion wird als die repräsentative defuzzifizierte Zahl verwendet)

Fuzzy Logic and Probability Theory ^[1]

The fuzzy-terminology states: Janes degree of membership within the set of old people is 0.8

The probabilistic approach: There is an 80% chance that Jane is old.

This view supposes that Jane is or is not old, still caught in the law of the Excluded Middle

Wann wird empfohlen Fuzzy Control Systeme einzusetzen

• bei komplexen Prozessen, für die es kein einfaches mathematisches Modell gibt
• bei hochgradig nichtlinearen Prozessen
• wenn der Prozess durch Expertenwissen mit Hilfe von linguistischen Variablen und FuzzyRegeln gut beschrieben werden kann.

Wann wird empfohlen Fuzzy Control Systeme nicht einzusetzen

• wenn konventionelle RegelungsSysteme ausreichen (ein Bisschen wischi-waschi)
  • ein leicht lösbares und dem Problem gerecht werdendes, mathematisches Modell existiert

Wie ist bei der Erstellung eines Regelungssystems mit Fuzzy Logic vorzugehen? ^[9]

Es sind folgende Punkte zu beachten:

1. Beschreibung des Systems, was sind die steuerbaren Eingangsgrößen, was sind die messbaren Kenngrößen, Ausgabewerte des Systems; welche Werte charakterisieren den Zustand des Systems
2. Fuzzyfizierung: es werden den technischen Größen Zugehörigkeitsgrade zu Fuzzy Mengen zugeordnet. Die Fuzzy Mengen werden aufgrund der Terme der linguistischen Variablen, die das System umgangssprachlich beschreiben von einem Experten des Anwendungsfachgebietes definiert.
3. Regeln: Es werden FuzzyRegeln gebildet, die ein deskriptives Modell der zur Regelung des Systems darstellen.
4. Anwendung der Regeln auf vorliegende fuzzyfizierte Größen des Systems; Bestimmung welche Inferenzmethode (max/min, max/prod) zu Einsatz kommen soll
5. Defuzzyfizierung: Bestimmung welche Methode zum Einsatz kommen soll (centerOfgravity, maximum,...)

Schritt 1) Formulierung der Aufgabenstellung; Beschreibugn der Einganggrößen, Ausgangsgrößen (Stellgrößen), ... Ziel, Aufgabe des Systems

Schritt 2) Beschreibung des "Deskriptiven Modells": Wie ist bei bestimmten Eingangsgrößen die Stellgröße zu verändern, dazu sind Regeln zu formulieren

Hilfsmittel bei Formulierung des deskriptiven Modells:

Verwendung einer Tabelle mit den den Eingangsgrößen (im einfachen Fall 2) als Zeilen bzw. Spalten.

Die Eingangsgrößen sind die linguistischen Variablen, die Terme sind Spaltenbeschreibung, Zeilenbeschreibung

In jedem Kästchen steht die Aktion (Einwirkung auf die Stellgröße) die gelten soll. (In der Regel geht man von einer UND-Verknüpfung der Zeilen und Spalten aus)

	Temperatur steigt	bleibt gleich	sinkt
zu warm	stark kühlen	kühlen	nichts tun
ok	kühlen	nichts tun	heizen
zu kalt	heizen	heizen	stark heizen

Schritt 3) Festlegung der Zugehörigkeitsfunktionen. Zunächst untersucht man, welche Wertebereiche die Werte der Eingangs- und Ausgangsgrößen annehmen können (Universe of Discourse/Numbers)

Einen ersten Ansatz für die Erstellung der Zugehörigkeitsfunktionen hat man, indem man Triangularfunktionen über den Messbereich legt. Triangularfunktionen sind Polygonzüge die dreickförmig verlaufen.(Siehe auch stetige oder konvexe Funktionen)

Schritt 4) Festlegung der Inferenz-Methode

Schritt 5) Festlegung der Defuzzyfizierungs-Methode

 

Fuzzy Logic am Beispiel einer Steuerung einer Solaranlage

Wichtige Größen:

Eingangsgrößen:

1. Temperatur am Solarkollektor
2. Temperatur am Wärmespeicher unten
3. Temperatur am Wärmespeicher oben
4. Temperaturdifferenz zwischen Vorlauf und Rücklauf zum Solarkollektor
5. Existiert steigender Bedarf oder eher sinkender Bedarf nach Wärme?
6. Tageszeit, Jahreszeit

Ausgangsgrößen (Stellgrößen):

1. Start des Brennwertkessels, Stopp des Brennwertkessels
2. Drehzahl der Solarpumpe (Ausgangsvariable, oder Stellgröße des Systems)

Quellenangaben: